ตอนที่ 52 ตัวฉัน! ลู่สือเซี่ยน! ฝีมือยังไม่ขึ้นสนิม

ข้อแรกเป็นโจทย์พีชคณิต an คือผลรวมของพหุนาม จงพิสูจน์ว่า เมื่อจำนวนเต็มบวก n≥2 แล้ว a(n+1) < an

ตอนเห็นโจทย์ข้อนี้แวบแรก ลู่สือเซี่ยนยังคิดไม่ออก จึงชะงักค้างไปทันที

ท้ายที่สุดแล้วโจทย์พีชคณิตล้วน ๆ นั้นทดสอบทักษะการคิดเชื่อมโยงเชิงตรรกะของคนเราอย่างยิ่ง

นี่อย่าบอกนะว่าแม้แต่โจทย์พิสูจน์ข้อแรกก็ยังทำไม่ได้? นี่มันง่ายที่สุดแล้วแท้ ๆ

ลู่สือเซี่ยนเริ่มตื่นตระหนกขึ้นมาทันที หากแม้แต่ข้อแรกยังแก้ไม่ได้ ย่อมส่งผลกระทบอย่างใหญ่หลวงต่อการทำข้อต่อ ๆ ไปของเขาอย่างแน่นอน

เขาผ่อนลมหายใจเบา ๆ ค่อย ๆ บังคับตัวเองให้สงบลง

ยิ่งตื่นเต้นก็ยิ่งต้องไม่ลนลาน

ลู่สือเซี่ยนวิเคราะห์โจทย์ใหม่อีกครั้ง พลันพบว่าตนเองตกอยู่ในหลุมพรางทางความคิด การพิสูจน์โจทย์เปรียบเทียบค่าแบบนี้ เหตุใดต้องแทนค่าทีละตัวแล้วค่อยนำมาเทียบกันด้วยเล่า?

เขาเพียงแค่ต้องเปลี่ยนมุมมองความคิดเท่านั้น

การเทียบว่า A กับ B ค่าไหนมากกว่า ยังแปลงเป็นการหาผลต่างระหว่าง A กับ B หรือไม่ก็หาอัตราส่วนระหว่าง A กับ B ได้ด้วย

หากผลลัพธ์สุดท้ายของ A-B มากกว่าศูนย์ หรือผลลัพธ์ของ A/B มากกว่า 1 นั่นก็แสดงว่า A มากกว่า B แล้ว

คิดมาถึงตรงนี้ แววตาของลู่สือเซี่ยนก็ยิ่งทอประกายเจิดจ้า

เขาคิดคำนวณลงบนกระดาษทดอย่างรวดเร็ว สำหรับพจน์ an สามารถใช้สมบัติการแจกแจงของการคูณเพื่อแยก n+1 ออกมาต่างหากได้

จากนั้นค่อยหารูปอย่างง่ายสุดท้ายของ an-a(n+1) สำหรับจำนวนเต็มบวก n≥2 ใด ๆ

สุดท้ายก็พิสูจน์ว่ารูปอย่างง่ายนั้นมีค่ามากกว่าศูนย์

ดังนั้นจึงได้ว่า a(n+1) < an

ข้อนี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

พอแก้โจทย์ข้อนี้ลุล่วง ลู่สือเซี่ยนก็ถอนหายใจยาวอย่างโล่งอก แล้วเริ่มดูโจทย์ข้อถัดไป

ข้อที่สองเป็นโจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์บนระนาบ

ใจความของโจทย์คือ ฟังก์ชันรูปเครื่องหมายถูกกับเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกันจนเกิดจุดตัดสองจุด จากนั้นให้หารอยทางเดินของจุดตัดระหว่างเส้นสัมผัสสองเส้นบนฟังก์ชันรูปเครื่องหมายถูก ณ ตำแหน่งจุดตัดคู่นั้น

ต้องยอมรับเลยว่า หากการคิดเชิงตรรกะไม่ดีพอ แค่กวาดสายตาอ่านโจทย์ก็ชวนให้เวียนศีรษะได้แล้ว

แต่จะว่าไป โจทย์ลักษณะนี้กลับเป็นจุดแข็งของลู่สือเซี่ยน สิ่งที่เขาถนัดที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ก็คือการแปลงรูปทรงเรขาคณิตให้เป็นพีชคณิต

ก็แค่หาพิกัดของจุดตัดเท่านั้นเอง

ตั้งระบบสมการตามเงื่อนไขที่กำหนด จากโจทย์จะทราบว่าสมการนี้มีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่าคือ x1, x2 บนช่วง (0, +∞) ดังนั้น k≠1 และสมการ Δ (1) = 1+4(k−1) > 0 โดยผลบวกของรากจริงทั้งสอง (สมการ 2) และผลคูณของรากจริงทั้งสอง (สมการ 3) ล้วนมีค่ามากกว่าศูนย์

จากตรงนี้จะหาขอบเขตค่าความชัน k ของเส้นตรงได้ สุดท้ายก็หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันรูปเครื่องหมายถูก

จัดรูปจนได้สมการของเส้นตรง l1 และ l2 ออกมาเป็นสมการ (4) และสมการ (5)

นำสมการ (4) - สมการ (5) จะได้นิพจน์ฟังก์ชันของ xp เป็นสมการ (6)

แทนค่าสมการ (2) และ (3) ลงในสมการ (6) จะได้ xp = 2

นำสมการ (4) + สมการ (5) จะได้นิพจน์ฟังก์ชันของ yp เป็นสมการ (7)

แทนค่านิพจน์ร่วมของสมการ (2) และ (3) ลงในสมการ (7) จะได้ 2yp = (3−2k)xp+2 และเมื่อ xp = 2 จะได้ yp = 4−2k

เมื่ออิงตามขอบเขตค่าความชัน k จะได้ 2 < yp < 2.5

นั่นคือทางเดินของจุด P ก็คือส่วนของเส้นตรงระหว่างจุด (2, 2) กับ (2, 2.5) (ไม่รวมจุดปลาย)

พอลู่สือเซี่ยนเขียนข้อนี้เสร็จ เวลาสอบก็เหลือเพียงสี่สิบนาทีเท่านั้น

โจทย์ข้อใหญ่ข้อที่สองนี้ไม่ได้ยากเลยจริง ๆ แนวคิดแสนเรียบง่าย เพียงแต่ขั้นตอนการคำนวณค่อนข้างซับซ้อน ทั้งยังกินเวลาไม่น้อย แค่ข้อนี้ข้อเดียวก็ผลาญเวลาเขาไปตั้งหลายสิบนาที

ยังไม่ทันมีเวลาให้บ่น ลู่สือเซี่ยนก็รีบเบนสายตามองไปยังโจทย์ข้อใหญ่ข้อที่สามทันที

กำหนดให้ฟังก์ชัน f(x) สอดคล้องกับ f(x+2π) = f(x) สำหรับทุกจำนวนจริง x

จงพิสูจน์ว่า: มีฟังก์ชัน fi(x) จำนวน 4 ฟังก์ชัน (i = 1, 2, 3, 4) ที่สอดคล้องกับ:

(1) สำหรับ i = 1, 2, 3, 4 fi(x) เป็นฟังก์ชันคู่ และสำหรับทุกจำนวนจริง x จะได้ว่า fi(x+π) = fi(x)

(2) สำหรับทุกจำนวนจริง x จะได้ว่า f(x) = f1(x) + f2(x)cosx + f3(x)sinx + f4(x)sin2x

โจทย์ดูสั้นกระชับมาก ทว่าลู่สือเซี่ยนรู้ดีว่าขั้นตอนการแสดงวิธีทำตอนท้ายจะต้องยาวกว่าตัวโจทย์หลายเท่า และอาจจะมากกว่านั้นเสียด้วยซ้ำ

เวลาเหลือไม่มากแล้ว ลู่สือเซี่ยนจึงตัดสินใจจัดการข้อย่อยแรกก่อน

ลู่สือเซี่ยนไม่ต้องคิดให้เปลืองสมองก็รู้ว่า อะไรก็ตามที่แตะโดนค่าพาย (π) ย่อมหนีไม่พ้นเรื่องฟังก์ชันเป็นคาบ

เขาแปรพักตร์สองขุนพลเอกของฝ่ายศัตรูอย่าง f(x) มาเป็น g(x) และ h(x) ทันที โดยที่ g(x) เป็นฟังก์ชันคู่ และ h(x) เป็นฟังก์ชันคี่ สำหรับทุกจำนวนจริง x จะได้ว่า g(x+2π) = g(x) และ h(x+2π) = h(x)

จากนั้นก็นำไปแทนค่าลงในฟังก์ชัน fi(x) ทั้งสี่ (i = 1, 2, 3, 4) ตามลำดับ เพื่อให้ได้นิพจน์ของฟังก์ชัน f1(x), f2(x), f3(x) และ f4(x) ออกมา

ดังนั้น fi(x) เมื่อ i = 1, 2, 3, 4 จึงเป็นฟังก์ชันคู่ และสำหรับทุกจำนวนจริง x จะได้ว่า fi(x+π) = fi(x)

ขั้นตอนนี้ถือว่าง่าย การตรวจพิสูจน์ที่มีจำนวนครั้งจำกัดมากขนาดนี้ แค่แทนค่าลงไปตรวจสอบทีละตัวก็พอ ไม่ต้องเปลืองสมองเลย

ลู่สือเซี่ยนรู้สึกว่าตราบใดที่ยังไม่เกินสิบครั้ง เขาก็รับได้ทั้งนั้น อย่างมากก็แค่เปลืองไส้ปากกาหน่อยเท่านั้นเอง

เพราะยังไงก็ยังดีกว่านั่งจ้องโจทย์อยู่นานสองนานแล้วไม่รู้จะเริ่มลงมือตรงไหน

ทว่าโจทย์ข้อนี้เหมือนจะยังเมตตาผู้เข้าสอบอยู่บ้าง เพราะลู่สือเซี่ยนพบว่าคำถามข้อที่สองมีความเชื่อมโยงกับคำถามข้อแรกเป็นอย่างมาก

เมื่อนำนิพจน์พีชคณิตที่เพิ่งหาได้จากข้อแรกไปแทนลงใน f(x) = f1(x) + f2(x)cosx + f3(x)sinx + f4(x)sin2x

จากนั้น แค่แยกกรณีพิจารณาก็เป็นอันเสร็จสิ้น

เนื่องจากช่วงค่าของ x ส่งผลให้ f1(x), f2(x), f3(x) และ f4(x) มีความเป็นไปได้ทั้งหมด 6 กรณี

ในจำนวนนั้นมีสองกรณีที่ไม่จำเป็นต้องอภิปรายอีก เพราะยอมจำนนสารภาพความจริงออกมาแต่แรกแล้ว

ยังเหลืออีกสี่กรณีที่ยังคงดื้อดึงขัดขืน ลู่สือเซี่ยนจึงต้องงัดไม้เรียวปรามพยศอย่างการตั้งสมมติฐานขึ้นมาฟาดฟัน

ในที่สุดพวกมันก็ทนการทรมานไม่ไหวจนยอมรับสารภาพ จึงพิสูจน์ได้ว่าทั้งหกกรณีล้วนเป็นจริงอย่างสมบูรณ์

สรุปความได้ว่า ข้อความนี้เป็นจริงตามที่ต้องพิสูจน์!

ลู่สือเซี่ยนถอนหายใจยาวออกมาหนึ่งเฮือก ครั้นใช้หางตาเหลือบมองไปรอบตัว ในห้องเรียนอันกว้างใหญ่กลับเหลือเขาอยู่เพียงลำพังคนเดียว

จู่ๆ ในใจเขาก็ตื่นตระหนกขึ้นมา ยังไม่หมดเวลาเสียหน่อย คงไม่ใช่หรอกมั้ง

โจทย์ที่ตนเองต้องออกแรงพิสูจน์แทบแย่ คนอื่นทำเสร็จเร็วขนาดนี้เชียวหรือ

หรือว่าเราแก่จนยกดาบฆ่ามังกรไม่ไหวแล้ว หรือเด็กสมัยนี้มันเก่งกาจเกินไปกันแน่

พอเขาเงยหน้าขึ้น ก็สบสายตากับอาจารย์คุมสอบที่กำลังจ้องเขม็งมาที่เขาพอดี

หมายความว่ายังไงกันครับ ผมทำให้อาจารย์ผิดหวังงั้นเหรอ

ขอโทษด้วยจริงๆ ครับ ผมยอมรับแล้วว่าตัวเองมันกากคณิตศาสตร์จริงๆ

เขาลุกขึ้นไปส่งข้อสอบด้วยความหดหู่ใจ จากนั้นก็เก็บข้าวของเตรียมจะเดินออกจากสถานที่สะเทือนใจแห่งนี้

ทว่านึกไม่ถึงว่าตอนที่เขากำลังจะก้าวพ้นประตู ด้านหลังกลับมีเสียงชื่นชมของอาจารย์คุมสอบดังแว่วมา

"โอ้โห ไม่เลวเลยนี่! คนอื่นในห้องสอบนี้เขายอมแพ้แล้วเดินออกไปก่อนตั้งนานแล้ว มีแต่นายคนเดียวนี่แหละที่ยังคงก้มหน้าก้มตาฮึดสู้จนถึงที่สุด"

ลู่สือเซี่ยน: ◔ ‸◔?

"ไม่ว่าจะทำถูกหรือผิด แต่นายทำจนจบได้ ก็ถือว่าไม่เสียแรงที่ฉันยืนจับตาดูนายคนเดียวตั้งหนึ่งชั่วโมงเต็ม"

ลู่สือเซี่ยน : ε٩ (๑> ﹏ <)۶з

อารมณ์ที่เคยดิ่งวูบของลู่สือเซี่ยนค่อยๆ ฟื้นคืนกลับมาทีละน้อย

ความหมายนี้แปลว่าฝีมือผมก็ยังพอใช้ได้ คมดาบยังไม่ทื่อสินะเนี่ย!